José Antonio Gómez Di
Vincenzo |
| Especial para La Página |
El quinto postulado de la Geometría Euclidiana se había
instalado, desde la antigüedad, como un verdadero dolor de cabeza para muchos
estudiosos de la filosofía de la geometría y la geometría misma. El mismo
Euclides (ca. 325 - ca. 265 a. C.) hacía todo lo posible por evitarlo en sus
demostraciones, apelando a él recién en la proposición XXVII de sus famosos Elementos,
la que establece la igualdad de los ángulos alternos internos que se forman
cuando una recta corta dos paralelas. Muchos de sus teoremas quedaron
demostrados haciendo uso y abuso de complejos rompederos de cabeza; teoremas
cuya justificación hubiese sido muy sencilla y elegante de haber invocado el
quinto postulado. ¿Por qué tanta aversión al uso del quinto por parte de su
creador?
El quinto postulado sostiene que si una recta al incidir
sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos
rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en
el que están los ángulos menores que dos rectos. Como puede advertirse, la
fórmula euclidiana es bastante más compleja en éste que en otros cuatro
postulados los cuales, además, parecen evidentes por sí mismos[1]. Siempre queda
pendiente la cuestión de definir si éste es independiente del resto o puede
demostrarse a partir de ellos.
En rigor, las discusiones sobre el quinto postulado han
seguido distintos derroteros a lo largo de la historia. Se ha intentado derivar
el postulado del resto de la geometría, se lo ha intentado reformular o se ha
tratado de explicar qué podría suceder con la geometría de negarlo.
La posibilidad de demostrar el quinto postulado del geómetra
alejandrino mediante un simple teorema fue, pues, una de las tareas a las que
se abocaron numerosos estudiosos de la geometría. Pero aún existe una cuestión
más que debe tenerse en cuenta antes de avanzar con la discusión…
El famoso postulado se completa con la teoría euclidiana del
paralelismo. En efecto, puede enunciarse la cuestión en los siguientes
términos: dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí; por un
punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una recta paralela[2]; y puede
decirse también, que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual
a dos rectos.
Todos los geómetras que han querido demostrar, por ejemplo,
la igualdad a 180º (dos rectos) de la suma de los ángulos interiores de un
triángulo evadiendo el quinto postulado naufragaron olímpicamente.[3] A pesar
de los muchos esfuerzos veremos que con las Geometrías no Euclidianas quedará
demostrada la independencia del quinto postulado de Euclides.
Es interesante rescatar de los pliegues de la historia el
aporte de Giovani Saccheri (1667 – 1733), quien en su Euclides ab omni
naevo vindicatustrata, trata de demostrar el quinto postulado, mediante una
sutil variación del método de la reducción al absurdo. Saccheri da dos
demostraciones del quinto postulado de Euclides. Considera un cuadrilátero
birrectángulo ABCD (cuadrilátero que hoy lleva su nombre) en el que los lados
opuestos AC y BD son iguales y perpendiculares a AB, es decir que los ángulos
en A y B son rectos. A continuación, demuestra que si C es obtuso, entonces AB
es mayor que CD; si C es recto, AB es igual a CD; si C es agudo, entonces AB es
menor que CD; y así recíprocamente.
Posteriormente, Saccheri muestra que, si en un sólo
cuadrilátero birrectángulo el ángulo C es obtuso, recto o agudo, pues entonces,
en todos estos cuadriláteros del plano los ángulos que no son rectos por
construcción serán asimismo, obtusos, rectos o agudos respectivamente. En otras
palabras, sin realizar juicio alguno sobre la validez del postulado quinto de
Euclides, demuestra que los otros ángulos opuestos son iguales y que pueden ser
rectos, agudos u obtusos.
Más adelante, el geómetra italiano pasa a estudiar estas
tres hipótesis de las cuales, una y sólo una puede ser verificada, son
auto-excluyentes. Es preciso tener en cuenta que todo este trabajo es llevado a
cabo por Saccheri con el propósito de reivindicar la geometría euclidiana. Es
justamente en este momento que entra en juego la técnica de la reducción al
absurdo. Saccheri parte del supuesto de que los ángulos opuestos son obtusos o
son agudos, pretendiendo arribar a una contradicción.
El procedimiento es complejo y no viene al caso trascribirlo
aquí.[4] Lo
importante es que por el hecho de considerar la posibilidad de que dichos
ángulos sean agudos u obtusos, Saccheri se instala como un precursor de las
Geometrías no Euclidianas. En efecto, de ser así, la suma de los ángulos
interiores del cuadrilátero sería mayor o menor a 360º y la de los triángulos
mayor o menor a 180º.
Saccheri creyó haber demostrado ciegamente el postulado
euclidiano aún sin haber logrado exponer su validez absoluta. Nunca juzgó que
la nueva geometría que surgía al negar el quinto postulado euclidiano fuese tan
consistente como la del alejandrino.
Como quiera que sea, con el correr de los años ningún
matemático estaba dispuesto a dejar de lado el quinto postulado, aún con todos
los problemas que traía aparejados. Menos, después de la publicación de la Critica
de la Razón Pura de Kant (1724 - 1804). Efectivamente, todos los
matemáticos contemporáneos al filósofo de Königsberg se apoyaron en él para
sostener el quinto postulado.
Su concepción apriorística del espacio daba a la Geometría
Euclidiana un lugar destacado. Efectivamente, el espacio a priori kantiano es
el espacio que describe Euclides en sus Elementos. Para el filósofo era
impensable que la Geometría Euclidiana sea contingente, que no tenga certeza
absoluta, que sus afirmaciones no sean universales y necesarias y que el
espacio empírico no sea el que ella describe. De ser contingente, sus
afirmaciones deberían modificarse con el tiempo y junto con ella las de toda la
ciencia natural que también tendría un carácter efímero.
Según Inmanuel Kant, la Geometría Euclidiana se fundamenta
epistemológicamente porque sus axiomas se construyen con enunciados sintéticos
a priori. Pero también, la matemática y la física (la de su época, la de
Newton) resultaban innovadoras por el hecho de construir sus conocimientos
mediante el uso de este tipo particular de enunciados, aquellos que pueden
conocerse intuitivamente sin recurrir a la observación directa o a la
experiencia pero que además, amplían significativamente nuestro conocimiento.
Esto es posible gracias a las formas puras de la intuición y a las categorías
del entendimiento. El espacio y el tiempo son estas formas puras. Tanto las
formas puras como las categorías son a priori, es decir, independientes de la
experiencia. No debe perderse de vista que Kant intenta fundamentar
gnoseológicamente la física newtoniana, ideal de cientificidad para la época.
La epistemología del genial filósofo, en síntesis, exige
como condición fundamental para las ciencias la utilización de juicios
sintéticos a priori. Podemos conocer cómo funciona el universo, podemos
anticipar resultados aún sin recurrir a la experiencia (que es particular y contingente)
porque somos nosotros mismos los que ordenamos la realidad mediante las formas
puras de la intuición y las categorías del entendimiento y porque a partir de
ellas y mediante las categorías del entendimiento podemos elaborar leyes
científicas (es decir, conocimientos universales y necesarios).
El carácter absoluto de la geometría de Euclides, que será
puesto en tela de juicio por quienes inauguran las denominadas Geometrías no
Euclidianas, está presente, como decía, en la gnoseología kantiana pero también
en física newtoniana. LosElementos de Euclides son para Kant ciencia bien
construida, ciencia que se edifica mediante el uso de juicios sintéticos a
priori. La geometría pura de Euclides se aplica a la experiencia. Es una
geometría aplicada a la construcción de conocimiento acerca del espacio
empírico. Kant demuestra (más bien cree demostrar) que el espacio de la
experiencia, el espacio físico, es el espacio euclídeo, lo puro y lo aplicado
coinciden.
Entonces, como decía, el espacio en el que Newton
(1643 - 1727) traza sus leyes es el de Euclides. Esta concepción del
espacio se derrumba definitivamente gracias a las experiencias empíricas
realizadas por los físicos y el aporte de la Física Relativista que demuestra
que siempre es necesario recurrir a la experiencia para construir nuevos
conocimientos del universo.[5] No hay a
priori alguno, no hay certeza apodíctica. El error de Kant consiste en pensar
que el esquema o estructura de nuestro conocimiento es universal y absoluto. Si
bien es cierto que cuando ponemos en funcionamiento nuestra capacidad de
construcción de conocimiento, operamos mediante esquemas ordenadores de una
manera muy particular que nos permite de algún modo concebir el mundo y darle
cierta forma, también es cierto que estos esquemas o estructuras junto a los
conocimientos no son absolutos y que han ido transformándose en la historia a
partir de formas dialécticas de relacionarnos con el mundo y de nuestra
necesidad de transformarlo para lograr la reproducción en nuestra existencia.
Concretamente, tomando las ideas planteadas por Riemann,
hacia 1920, Einstein (1879 - 1955) desarrolla, en su Teoría de la Relatividad
General, la cuestión de la estructura geométrica del universo. Es allí que
demuestra que la geometría del espacio-tiempo es curva. Se trata del campo
gravitatorio. En él, bajo la acción de la gravedad, los cuerpos siguen las
líneas más rectas posibles dentro de dicha geometría. Estas líneas en el
espacio son las geodésicas. Con lo cual, se derrumba la idea kantiana de la
relevancia de los enunciados sintéticos a priori.
En efecto, el espacio debe ser vuelto a estudiar a partir de
una nueva relación entre el hecho empírico y la abstracción para poder ser
abordado y transformado, no hay absolutos ni a priori. Es así como la historia
de la física demuestra que el gran Kant se equivocaba al pensar en el carácter
absoluto de la geometría de Euclides. Porque la geometría en general tiene que
ver con la experiencia y no posee una certeza apodíctica; esto es, no se trata
de un conocimiento universal y necesario.
Pero volvamos al trabajo de los geómetras y al temblor que
producen las Geometrías no Euclidianas. Después de veintidós siglos de trabajo,
estos estudiosos del espacio llegan a la conclusión de que el quinto postulado
es independiente de los demás. Y lo sorprendente es que de esta independencia
se sigue la existencia de Geometrías no Euclidianas, geometrías en las que el
quinto postulado no se cumple, en las que no habría ningún problema lógico en
afirmar que por un punto exterior a una recta puedan pasar más de una paralela
o incluso ninguna y que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es
menor a dos rectos o mayor.
Hemos visto como Saccheri introdujo el método de la
reducción al absurdo en la demostración. Más tarde a principios del siglo XIX,
se intentó demostrar el quinto postulado por reducción al absurdo. Se suponía
que es falso y se trataba de obtener una contradicción. Sin embargo, lejos de
llegar a un absurdo se encontró que existían geometrías consistentes y
perfectamente coherentes, diferentes de la Geometría Euclidiana.
El primer matemático en ver con cierta claridad la
independencia del quinto postulado de Euclides fue Gauss (1777 – 1855). El
alemán advirtió, también, las posibilidades lógicas y geométricas que se abrían
al dejar de lado el famoso quinto postulado. En efecto, sistemas sumamente
coherentes podían dar lugar a nuevas geometrías tan poderosas como la
euclidiana, prescindiendo del problemático postulado. Desafortunadamente para
él, Gauss nunca publicó sus trabajos por temor a las críticas que pudieran
caerle encima. Así lo manifestó en una carta fechada el 27 de enero de 1813 y
dirigida a Bessel (1784 – 1846).
Gauss había comenzado a estudiar el postulado en 1792. Según
su diario personal fue recién en 1813 cuando a partir de una nueva definición
de las paralelas fundó la que denominó Geometría Antieucídea. El matemático
alemán dejo de lado sus investigaciones al enterarse, gracias a una carta
enviada por un orgulloso padre, que un joven geómetra húngaro de apellido
Bolyai (1802 – 1860) había llegado a sus mismos resultados.
En efecto, el padre de Bolyai, Wolfgang, envió el trabajo de
su hijo Juan a Gauss solicitándole una opinión. El alemán contesto
vanidosamente: “Empiezo por confesarte que no puedo alabar el trabajo de tu
hijo porque sería alabarme a mí mismo.” Sus resultados coinciden casi
completamente con el fruto de mis propias meditaciones. Tenía el propósito de
no publicar durante mi vida nada de esto, que, en verdad, apenas he confiado al
papel. La mayor parte de los hombres no saben de qué se trata y he encontrado muy
pocos que escuchasen con interés lo que les he comunicado acerca de lacuestión.
Cerebro mucho que quien se me ha adelantado sea el hijo de un viejo amigo.”[6]
Sea como sea, hacia la primera mitad del siglo XIX estaba
madura la idea de la indemostrabilidad del quinto postulado y su independencia
con lo cual la aparición de nuevas geometrías era casi un hecho asegurado. En
efecto, nada faltaba para que el ruso Lobatschewski (1793 – 1856), el ya
mencionado húngaro Bolyai, casi en simultáneo, y veinticinco años después,
Riemann (1826 – 1866) dieran el paso para la formulación de las Geometrías no
Euclideanas.
Aquellas geometrías junto con la física relativista pondrían
de manifiesto que si bien es cierto que los hombres creamos un mundo lo hacemos
a partir de la experiencia y que ningún conocimiento es eterno o inmóvil. Es
por la permanente necesidad de transformar el mundo que creamos, a partir de
los cambios que introducimos en nuestra percepción y conocimiento del universo,
nuevas posibilidades y a la vez, hacemos historia.
Notas
[1] 1. Se puede trazar
una línea recta que pase por dos puntos.
2. Se puede prolongar una línea recta indefinidamente a
partir de una recta finita.
3. Se puede trazar una circunferencia con centro y radio
dado.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
[2] Todo parece
indicar que fue Proclo (412 – 482) quien enunciar el quinto postulado de esta
manera.
[3] Para estudiar
en profundidad todo el derrotero de estudios sobre el quinto postulado desde la
antigüedad hasta la modernidad puede consultarse el ya clásico texto Francisco
Vera Breve Historia de la Geometría, Editorial Losada, Buenos Aires.
[4] Para
ampliar puede consultarse Dou A., Orígenes de la Geometría no euclidiana:
SACCHERI, LAMBERT Y TAURINUS en http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/HISTORIADELAMATEMATICA_1992_00_00_02.pdf
[5] Hay una
interesantísima discusión que no puedo desarrollar aquí dados los límites que
me he impuesto para este trabajo, es la que se da entre Poincaré quien sostenía
que la Geometría Euclidiana no puede ser refutada por experimento alguno, nada
en los hechos determina si es ella la correcta o cualquiera de las no
euclidianas y por lo tanto, somos nosotros quienes debemos decidir qué
descripción dar al mundo por convención y Einstein para quien la pregunta
acerca de la estructura del espacio, es decir si es esta euclidiana o no, debe
contestarse a partir de la experiencia, siendo una actividad a desarrollarse
desde la física y no desde las convenciones.
[6] Cita tomada de
Vera Francisco, Breve Historia de la Geometría, Lozada, pp.149 y ss.
